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第四节 粒子流密度和粒子数守恒定律 2013-10-27 20:01:26| 分类： JPSG | 标签： |举报 |字号大
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第四节 粒子流密度和粒子数守恒定律

一、引言

在本章的前几节里，我们讨论了微观粒子的状态的描写以及状态随时间变化的问题。掌握了粒子在空间出现的几率密度的表述以及粒子在空间某一区域内出现的几率的计算。这一节里，我们将进一步讨论在某一空间区域内粒子出现的几率随时间的变化问题，从而给出几率守恒定律以及在量子力学中的几个守恒定律。

二、几率守恒定律的微分形式

设描写粒子状态的波函数是 ，由波函数的统计解释可知，在时刻t在 点周围单位体积内粒子出现几率是 ，几率密度随时间的变化率是 。

由薛定格方程 和它的复共轭方程 可得 及 。将上两式代入前式中得 ，整理得 。

为了化简上式，考虑到当Ψ为标量函数时， 为矢量函数，按照矢量运算公式 有 。代入前式得 。

定义 ，代入上式得 或 ，这即是几率守恒定律的微分形式，即空间某点 处的几率密度随时间的变化率。矢量 是新引入的矢量，它的散度等于点 处的几率密度随时间的变化率的负值。

微分形式具有连续性方程的形式，它表明在空间某点 处的几率密度随时间的变化率等于该点的几率流密度矢量的散度的负值。

三、几率守恒定律的积分形式

为说明上式和矢量 的物理意义，将上式对空间任意一个体积V求积分 。应用矢量分析中的高斯定理，将上式右边的体积分变为面积分，得到 。面积分是对包围体积V的封闭面S进行的。上式的左边表示单位时间内体积V中几率的增加，右边的面积分是矢量 在体积V的边界面S上法向分量的面积分。因而很自然地把 解释为几率流密度矢量，它在S面上的法向分量表示单位时间内流过S面上单位面积的几率。上式就是积分形式的几率守恒定律。它的具体意义是：单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V外部穿过V的边界面S而流入V内的几率。

如果波函数在无限远处为零，可以把积分区域V扩展到整个空间，这时上式右边的面积分显然为零。所以有 ，即整个空间内找到粒子的几率与时间无关。若波函数Ψ是归一性的，则 ，那么上式说明Ψ将保持归一的性质，而不随时间改变。

四、几率守恒定律的物理意义的讨论

几率守恒定律的微分形式 或 ，有时也称为几率密度连续性方程。它的物理意义可以按下面几点来理解：

几率密度随时间的变化，必然伴随着几率密度的空间转移。这一点从连续性方程两边可以看出来。

从连续性方程可以看出，当时刻t在点 处几率密度w随时间的变化率等于该点几率流密度矢量 的散度的负值。即 ，说明该点的几率密度随时间增加，则必有 ，说明有等量的几率密度流入该点；若 ，说明该点的几率密度随时间减少， ，说明有等量的几率密度流出该点。

若 描写的是单粒子体系（或少数几个粒子），则不存在与几率密度w和几率流密度 相应的任何可测量的密度和流密度，则连续性方程只能按几率来理解。

若 描写的是由大量相同的粒子构成的多粒子体系，则确实存在着与几率密度w和几率流密 相应的可测量的密度和流密度，则连续性方程具有实在的物理意义。

1、粒子数守恒定律

如果研究的体系是具有确定动量 的粒子束，这时体系中各个粒子的状态可用波函数 表示，式中ρ是粒子数密度。将上式代入几率密度和几率流密度的定义式得 、 ，式中μ是粒子的质量， 是粒子的动量， 是粒子的速度， 是粒子流密度， 是动量。这时几率密度w变为粒子数密度，几率流密度 变为粒子流密度，则连续性方程变为 。

象上面一样，将上式对空间任意体积积分后，可以得到下述结论：单位时间内体积V内粒子数的改变，等于穿过V的边界面S流出或流入的粒子数。上式是量子力学中的粒子数守恒定律。它说明体积V内的粒子总数不随时间改变。

2、质量守恒定律

若以粒子质量μ乘以w和 ，则 是t时刻在点 处的质量密度； 是t时刻在点 处的质量流密度。以μ乘连续性方程，得 和 所满足的方程 。象上面对几率和几率流的讨论一样，将上式对空间任意体积积分，可以得到下述结论：单位时间内体积V内质量的改变，等于穿过V的边界面S流出或流入的质量。上式是量子力学中的质量守恒定律。它说明，体积V内的质量不随时间改变。

3、电荷守恒定律

同样，以粒子电荷e乘w和 后，得到 是电荷密度、 是电流密度，方程 ，是量子力学中的电荷守恒定律。它说明粒子的电荷总量不随时间改变。

五、波函数标准条件的讨论

到目前为止，我们只提到粒子的状态可以用波函数描写，但究竟怎样的函数才可以作为波函数，也就是说波函数一般应该满足哪些条件，则尚未涉及。现在，已建立了薛定格方程，证明了粒子数守恒定律之后，就可以讨论波函数的条件问题了。

由于几率密度和几率流密度应当连续，所以波函数Ψ必须在变化的全部区域内是有限的和连续的，并且有连续的微商（在有限个孤立点上，Ψ和它的微商在保持可积的条件下可以趋近天穷大）。

由于 是粒子出现的几率，因此Ψ应是坐标和时间的的单值函数，这样才能使粒子的几率在t时刻，在 点有唯一的确定值。

结论：波函数在变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、单值性和连续性。这三个条件称为波函数的标准条件，它们在解决量子力学问题中占有十分重要的地位。

例　粒子的波函数 （ ），试由波函数的标准条件确定m的值。

解：根据波函数的单值 ，可得 ，即